数学猜想(或称数学猜测、数学假设、数学问题等)是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断，它既有逻辑的成分，又含有非逻辑的成分，因而它具有一定的科学性和很大程度的假定性。这样的假定性命题是否正确，尚需通过验证和论证。虽然数学猜想的结论不一定正确，但它作为一种创造性的思维活动，是科学发现的一种重要方法，更是推动科学发展的最强动力之一。
数学猜想由前提和结论两部分组成；它以已有的部分事实和正确的数学知识（定理、公理、公式等）为前提，以在前提的基础上作出的假定性的判断为结论。数学猜想可分为存在型猜想(如“费马猜想”)，状态型猜想(如“庞加莱猜想”)，关系型猜想(如“哥德巴赫猜想”)，方法型猜想(如“四色问题”)等。它是以一定的数学事实为根据，包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分；没有数学事实作根据，随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。
数学猜想通常是应用观察、类比、分析、归纳等方法提出的，或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如，中国数学家、语言学家周海中根据已知的梅森素数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素数分布的重要猜想(即“周氏猜测”)。美籍挪威数学家、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：“周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。”
数学猜想是猜想者运用分析、综合、演绎尤其是类比、归纳等科学发现的思维方法，通过对数学对象和客观现象的洞察而预测新的数学事实与规律。创新性是其重要特征，没有创新，就谈不上数学猜想；创新是数学猜想的灵魂，它需要改变旧的思维方式、方法，突破固有的理论观点。数学猜想的创新性表现于揭示新的数学事实、预见新的数学规律。可见创新性是数学猜想的一大特点。
数学猜想有的被验证为正确的(如四色问题、费尔马猜想、卡塔兰猜想、庞加莱猜想等)，并转化为定理，汇入数学理论体系之中；有的被验证为错误的(如梅森猜想、欧拉猜想、高斯猜想、冯·诺伊曼猜想等)；还有一些正在验证过程中(如abc猜想、黎曼假设、杰波夫猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说，数学猜想的解决对于数学发展所带来的影响，不仅在于猜想本身的被证明(证实))或证否(证伪)，解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法，也是数学发展的重大影响因子。
数学猜想一般都是经过对大量事实的观察、验证、类比、归纳、概括等而提出来的。这种从特殊到一般，从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究，生动地体现了辩证法在数学中的应用，极大地推动了数学方法论的研究；而数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用，许多比较困难的重大问题的解决，往往取决于数学概念和数学方法上的突破。
此外，数学猜想往往成为数学发展水平的一项重要标志，它的探究会带来新的数学内容，也会诱导出一些新的课题或猜想。例如：费尔马猜想所产生的“理想数”概念，开创了代数数论；哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展，尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等；四色问题通过电子计算机得以解决，从而开辟了机器证明的新时代；黎曼假设不仅使素数定理得以证明，还使1000多个数学命题(以黎曼假设成立为前提)得以提出。从这个意义上讲，数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”，而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。
数学猜想对于数学发展的作用巨大，而数学发展往往影响着一个国家的综合实力。对于数学猜想之于科学知识的作用，德国数学家卡尔·高斯有句名言：“若无某种大胆果敢的猜想，一般是不可能有知识进展的。”数学知识的进展往往会促进科学的发展，乃至唤起科学的革命。因此，数学猜想是推动科学发展的强大动力之一。许多科学家认为，数学猜想会造就一种独特的魅力，这种魅力会使它独树一帜，激发人们对它的探究兴趣。
何种数学猜想会造就独特魅力呢?前不久，荷兰数学家、物理学家罗贝特·捷格拉夫在《量子》杂志发表的“数学猜想的机巧艺术”一文中认为：一个具有魅力的猜想应该具备简洁性；它是一个有根据的猜测，而不是证明；它应该是“不平凡的”，也就是说，不容易被证明；提出猜想的人比终结它的人更重要；数学猜想的证明虽败犹荣。
数学史上充满着各种各样的猜想，伴随并且促进着数学的发展。年年都有不少数学猜想被提出，也有不少数学猜想被破解，还有一些重量级的猜想，让数学家们绞尽脑汁，但迄今尚未被破解；要想破解它们，不仅需要扎实的数学基础、过人的思维能力和顽强的拼搏精神，还需要对前人所做的种种尝试有一系统了解。因此，每破解一个猜想，都是将数学推向前进的阶梯，引领科学的发展。
学术界有个说法：全世界适合去攻克重要数学猜想的人不超过100个；他们不仅要有百分百的努力，而且还需要有着惊人的天赋。许多数学猜想看似简单易懂，一般人都能轻易理解，但实则内涵深邃无比，不可轻易触碰、盲目求解；否则就会做“无用功”，甚至浪费生命，花了时间和精力，却没有得到任何有意义的结果。
2000年5月，美国克雷数学研究所（CMI）在法国巴黎法兰西学院宣布了一件被全球媒体炒得火热的大事：对7个“千年数学难题”的每一个悬赏100万美元，限期为100年；附加的条件是，相关的论文必须在世界性的专业杂志发表，在两年内如无异议才发给奖金。这7个难题都是当今重要的数学猜想，而它们的解决将对科学理论的发展和应用的深化产生巨大的推动作用。
众所周知，数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科；它既是关于已知的，又是关于未知的。数学猜想架起了从已知到未知的桥梁；而破解数学猜想，正是数学家们一直在追求的目标。最后，让我们借用德国数学家大卫·希尔伯特的一句名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”
文/唐国强博士（作者单位：加拿大多伦多大学文理学院）