作者:齊明智
完美數(英文Perfect Number，又稱“完全數”或“完備數”)，是一些特殊的自然數。它所有的真因數(即除了自身以外的約數)的和，恰好等於它本身。例如：第一個完美數是6（也是最小的完美數），它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1+2+3=6。完美數神奇而迷人，有“數學寶庫中的璀璨鑽石”之稱。
在西方，完美數6是一個備受寵愛的數字。有人認為，6是屬於美神維納斯的，它象徵著美滿的婚姻；也有人認為，宇宙之所以這樣完美，是因為上帝創造它時花了6天時間等等。中國人對6的喜愛，也是很有說法的；例如成語“六六大順”“六畜興旺”“六谷豐登”“六朝脂粉”“六出奇計”“六合同風”“身懷六甲”“眼觀六路”……不一而足。西元前6世紀的古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯是最早探究完美數的人，他已經知道6是第一個完美數了。
到了西元前3世紀，古希臘數學家歐幾裡得在其名著《幾何原本》中首次給出了尋找完美數的方法，被數學界譽為“歐幾裡得定理”：如果2^P-1是素數(其中指數P也是素數)，則2^(P-1)(2^P-1)是完美數。2^P-1型的素數在數學界被稱為“梅森素數”，它是以17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林·梅森命名的。
1730年，被稱為“世界四大數學家雄獅”之一的瑞士數學家、物理學家萊昂哈德·歐拉，時年23歲，正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：每一個偶完美數都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然數，其中P是素數，2^P-1也是素數。這就是歐幾裡得定理的逆定理。有了歐幾裡得和歐拉兩個互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。
此外，歐拉在雙目失明的情況下，1772年靠心算證明了2^30(2^31-1)是第8個完美數。這個具有19位的完美數（即2305843008139952128），堪稱當時已知的最大完美數。他的頑強毅力與解題技巧令人讚歎不已；法國大數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”
法國哲學家、數學家、物理學家勒內·笛卡爾曾公開預言：“能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完人亦非易事。”歷史已經證實了他的預言。2600多年來，人們歷盡艱辛，一共才找到51個完美數。有趣的是，這些完美數都是偶數，其個位數要麼是6，要麼就是8；至今人們還沒發現奇完美數，如果該數存在的話，它一定是非常巨大的。由於完美數具有獨特美妙的數學性質，千百年來，許多著名數學家以及無數數學愛好者對它情有獨鍾。
由“歐幾裡得-歐拉定理”可知，人們只要找到一個梅森素數，就可以找到一個與其對應的偶完美數。值得指出的是，梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其探究難度就會很大；它是數論研究的一項重要內容，也是當今科學探究的熱點和難點之一。
目前，世界上有200多個國家和地區近25萬人參加一個名為“互聯網梅森素數大搜索（GIMPS）”項目，並動用了超過250萬核中央處理器（CPU）聯網來尋找梅森素數。可見，梅森素數的探究非常火爆；這在數學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。現在只要人們去GIMPS的主頁下載一個名為“Prime95”免費程式，就可以立即參加GIMPS項目來搜尋梅森素數。
前不久，來自美國佛羅里達州的互聯網專家及數學愛好者派翠克·拉羅什利用GIMPS項目，成功發現第51個梅森素數2^82589933-1；該數有24862048位，它是當今人類發現的最大素數。由此可以知道第51個完美數是2^82589932（2^82589933-1）；如果用普通字型大小將這個完美數列印下來，其長度將超過200公里！
值得一提的是，在梅森素數的素性判斷方面，法國數學家愛德華·魯卡斯和美國數學家德里克·雷默都做出了重要貢獻；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數素性的最佳方法。在梅森素數的分佈探索方面，中國數學家、語言學家周海中給出了梅森素數分佈的精確運算式；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。
需要指出的是，實際上完美數目前並不“完美”，它還有一些謎團尚未解決。例如：是否有無窮多個完美數？奇完美數到底存在不存在？完美數在自然數中是如何分佈的？這些都是當今數論領域的著名難題；它們與其他科學難題一樣，有待人們去攻克。正如德國數論專家卡爾·西格爾所言：“待到它被完全破解時，所謂的‘完美數’才算是真正的完美數。”
最後一提的是，完美數是當前數論研究中的前沿課題之一，也是歷來人們尋找數學美的重要組成部分；儘管我們現在還看不到它的實際用處，但它卻反映了自然數的某些基本規律。探究自然規律，揭開未知之謎，這正是科學追求的終極目標。可以預料完美數這顆數學寶庫中的璀璨明珠正以其獨特魅力，吸引著更多的有志者去探尋和研究。
文/齊明智（作者系德國波恩大學博士後）