眾所周知，素數也叫質數，是只能被1和自身整除的正整數，如2、3、5、7、11等等。2300年前，古希臘數學家歐幾裏得用反證法證明素數有無窮多個，並提出一些素數可寫成“2^P-1”（其中指數P也是素數）的形式，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127、2^13-1=8191等；這種神奇的素數在1897年被命名為“梅森素數”。而“周氏猜測”是中國數學家和語言學家周海中在1992年提出的關於梅森素數分佈的重要猜想，它已成為當今科學探究的難點之一。下麵我們就簡要談談梅森素數和周氏猜測。
1.梅森素數
2^P-1型素數被稱為梅森素數，它由梅森數（常記作Mp=2^P-1）而來；梅森素數和梅森數均以17世紀法國數學家馬林·梅森命名，因為他在這方面的研究成果較為卓著，加上他是當時歐洲科學界一位獨特人物。至今為止，人類只找到51個梅森素數；由於這種素數優美且稀少，而被人們譽為“數海明珠”。
梅森素數與完美數有著十分密切的關係，人們一開始先探究完美數。西元前6世紀的古希臘數學家和哲學家畢達哥拉斯是最早探究完美數的人，那時他已知道6和28這兩個自然數是完美數了。所謂完美數是這樣的數，它是真因數(即除了自身以外的約數 )的和。
西元前3世紀，古希臘數學家歐幾裏得在其名著《幾何原本》中首次給出了尋找完美數的方法，被數學界譽為歐幾裏得定理：如果2^P-1是素數，則2^(P-1)(2^P-1)是完美數。他的發現為尋找新的完美數提供了一種可靠的方法。
1730年，瑞士數學家和物理學家萊昂哈德·歐拉給出了一個出色的定理：每一個偶完美數都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然數。這是歐幾裏得定理的逆定理。有了歐幾裏得和歐拉兩個互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。
由於梅森素數與偶完美數有著特殊關係，並具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家（包括數學大師笛卡兒、費馬、歐拉、高斯、哈代、圖靈等）和無數的業餘數學愛好者對這種素數進行探究。
1996年初，美國數學家和程式設計師喬治•沃特曼編制了一個梅森素數計算程式，並把它放在網頁上供數學家和業餘數學愛好者免費使用，這就是著名的“互聯網梅森素數大搜索”(GIMPS)專案。現在只要人們去GIMPS的主頁下載那個免費程式，就可嘗試尋找梅森素數了。
自GIMPS專案啟動之後，有1/3的梅森素數是在這個專案中被發現的。最近一次的突破性工作發生在2018年底，人們找到了目前最大的梅森素數，也是迄今已知的最大素數。不久前，人們還發現小於第48個梅森素數的所有自然數中，不再可能有新的梅森素數。
目前，全球已有200多個國家和地區26萬多人參與GIMPS專案，並動用了超過272萬核中央處理器（CPU）來尋找新的梅森素數。因此，僅從人力、物力方面來說，對梅森素數的探究在數學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。
梅森素數在當代具有重大的理論意義和豐富的實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑；其探究推動了“數學皇后”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程式設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。另外，它還可用來測試電腦硬體運算是否正確。
2.周氏猜測
人們在尋找梅森素數的同時，對這種素數的分佈規律也做了研究。例如法國、英國、德國、美國、印度的數學家都嘗試過這方面的研究，並以近似運算式給出了猜想；其結果均與實際情況有一定的差距，難以盡如人意。一直以來，數學家們都以為梅森素數的分佈是隨機的。然而，周海中卻認為該素數的分佈有規律可循，並以精確運算式給出了猜想。後來，這項重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。
周氏猜測的基本內容為：當2^(2^N)<P<2^(2^(N+1))時，Mp有2^（N+1）-1個是素數。周海中並據此做出推論：當P<2^(2^(N+1))時，Mp有2^(N+2)-N-2個是素數（注：P為素數；N為自然數，即0、1、2、3、4等等；Mp為梅森數）。
英國科學家艾薩克·牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現。”經過長期而艱辛的探索，周海中終於在1992年2月大膽地提出了梅森素數分佈的猜想，並給出它的精確運算式。這一成果為人們探究梅森素數提供了方便，是素數研究的一項重大突破。近年來周氏猜測受到專家關注和好評，而且在一些數學史、數學文化和數學難題的書籍中都有介紹。
美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：“周氏猜測具有創新性，開創了富於啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。”法籍華人數學家李明達在著名的《科學美國人》（中文版）中指出：“周氏猜測是梅森素數研究中的一項重大突破。”由中國數學家、中科院院士張景中主編的《30年科技成就100例》一書也指出：“周氏猜測具有數學之美。”
周氏猜測的運算式貌似簡單，但破解(證明或證否)它的難度卻很大。一直以來，這一猜測困擾數學界尤其數論界；就目前研究文獻來看，許多數學家和數學愛好者都嘗試過破解它；他們雖然絞盡腦汁，但仍一無所獲。然而，我們堅信：隨著數學方法和工具不斷改進，周氏猜測最終會被破解。
文/鄭小莉、雅克琳·馬丹(作者系法國巴黎理工學院博士後)