作者:錢芳（蘇州大學數學科學學院）
中國著名學者周海中先生在1993年發表的《21世紀數學展望》一文中指出：“數學模型在今後將顯得越來越重要。”後來的事實證明了他的這一預見。隨著人工智慧的進步，數學模型的作用越來越大；例如，最近穀歌DeepMind利用該模型，僅用19秒就解開了IMO2024幾何問題。
數學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數字的時代，隨著人類使用數字，就不斷地建立各種數學模型以解決各種實際問題。數學模型是針對現實世界的特定對象，為了一定目的，進行必要的簡化和假設，運用數學符號、數學公式、程式、圖形等，概括表達問題的數量關係和空間形式的一種工具。人們可根據實際問題來建立數學模型，對它進行求解，然後根據結果去解決實際問題。從廣義理解，數學模型包括數學中的各種概念、公式和理論。
數學模型大致可分為兩類：正演數學模型和反演數學模型。正演數學模型是根據各變數之間的某種關係建立方程或方程組，通過對方程或方程組的求解得到數學模型；反演數學模型是根據實際數據，通過某種方法尋求能符合或基本符合這些實際數據的某些數學運算式，以此來建立數學模型。數學建模的一般過程為模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗；而建模的求解可採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是電腦技術。
數學模型的作用主要體現在以下幾個方面：通過建立數學模型，可以在不進行實際實驗的情況下，對客觀現象進行分析和研究；數學模型可以在理論上進行操作和分析，避免了實際操作的複雜性和成本；相比於實際實驗，數學模型可以更加經濟地進行測試和驗證；通過數學模型的構建和分析，可以深入理解客觀對象的內在規律和本質。近期科學界利用人工智慧來建立數學模型，並收到了良好的效果。
數學模型以其清晰簡捷、易於操作的數學運算式，可明確表達事物發展過程中各變數之間的關係。它所表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現出來。它實際上是人們對現實世界的一種模擬或反映形式，因此與現實世界的原型有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數學運算式或數學理論就是建立數學模型的關鍵性技巧。數學建模是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯繫的一座必不可少的橋樑。
例如加拿大不列顛哥倫比亞大學物理學家本·蒂皮特先生與美國馬里蘭大學物理學家大衛·臧先生曾經利用人工智慧創建了一個名為TARDIS的數學模型，以證明時空旅行是可行的。他們解釋稱，“我們的時空旅行模型通過彎曲時空將時間形成閉環，而不再是一條直線。”他們還聲稱，TARDIS是一種時空幾何“氣泡”，相應的時空旅行速度要快於光速。不過，蒂皮特先生表示：“雖然時空旅行在數學模型上是可行的，但由於目前沒有相關的材料和方式來壓縮時空，因此我們還無法建立一個時空機器。”
又如世界頂尖科學家協會副主席、2013年諾貝爾化學獎得主、美國斯坦福大學結構生物學家邁克爾·萊維特先生領銜的研究團隊經過5個月對全球3546個不同國家地區的疫情數據追蹤，前不久利用人工智慧建立了一個全新的數學模型，用於預測每個地方新冠肺炎(COVID-19)疫情何時結束，以及確診人數和死亡人數。他們認為，如果能夠提前預測可能會造成的病例數和死亡率，那麼對於決策者在制定政策以控制病原體和優化醫療資源分配時都會有非常重要的意義。
由於數學模型有著重要的作用，它越來越受到人們的關注和重視。就連我國2020年高考數學試題也出現了數學模型的應用例子，如Ⅰ卷（供山東省使用）第6題，基於新冠肺炎疫情初始階段累計感染病例數的數學模型的研究成果，考查了相關的數學知識和從資料中提取資訊的能力，突出數學和數學模型的應用；全國Ⅲ卷文、理科第4題以新冠肺炎疫情傳播的動態研究為背景，選擇適合學生知識水準的Logistic模型作為試題命制的基礎，考查學生對指數函數基本知識的理解和掌握，以及使用數學模型解決實際問題的能力。
建立數學模型的要求包括真實完整性、簡明實用性和適應變化性。真實完整性要求模型必須真實、系統地反映客觀現象，簡明實用性要求在保證一定精確度的條件下，模型應盡可能簡單和可操作，適應變化性則要求模型能隨著條件的變化和認識的發展而調整。數學建模的過程不僅是一種技術活動，也是一種思維訓練。它涉及到從實際問題中提取關鍵資訊，通過簡化假設和分析內在規律，用數學符號和語言進行表述，進而建立數學模型，並通過求解模型來解決實際問題。完全可以相信，隨著人工智慧的進步，數學模型的作用將會是巨大的。
