作者:何衛東（澳門大學教育學院）
數學（英文mathematics，簡稱math或maths）一直是形成人類文化的主要力量，通過數學這面鏡子可以瞭解一個時代的特徵。而數學哲學對於時代的特徵有著重大影響，下麵就簡單談談數學哲學的有關問題。
數學哲學的研究範疇包括邏輯學和數學之間共同涉及的顯示，推理和數學推斷等方面，以及關於如何正確使用此類技術的事實和原則。數學哲學還是識別和評價那些不同技術之間的關係和相互作用的一項重要研究，以及對數學運算式、數學形式和譜系等形式論哲學的探索。
關於數學哲學，它一般展現為形式論和數學證明的藝術，其重在建立清晰的推斷以支撐數學理論的有效性。形式學關注的是如何有效地把概念轉換為邏輯表達，而證明藝術是如何將抽象想法轉換成邏輯表達，有效使用這些形式，並利用其有效性進行假設和猜測。
此外，數學哲學本身也是一種具有哲學性質的學科，它關注的是探討數學語言的結構，數學式的意義本質，數學原理的形成，數學演繹的邏輯和思維活動等問題，最終目的是指導數學實踐，準確地表達數學問題，以及形成更為深入和有效的解決方案。
其實，在古希臘數學與哲學同屬一脈，許多數學家同時也是哲學家。哲學關注真善美，其分支相應分為研究真的邏輯學、研究善的倫理學、研究美的美學；而數學的真表現在它的理性精神，數學的善表現在它與現實生活的普遍聯繫和廣泛應用上，數學的美就是數學問題的結論或解決過程適應人們的滿足感。
古希臘時期的畢達哥拉斯學派可視為數學哲學的鼻祖。畢達哥拉斯認為，萬物的本質不是物質，而是抽象的數。17世紀初，法國的哲學家、數學家勒內•笛卡爾創立瞭解析幾何，認為如果從不可懷疑和確定的原理出發，用類似數學的方法進行論證，則可以把自然界的一切顯著特徵演繹出來。
英國物理學家、數學家艾薩克•牛頓和德國哲學家、數學家戈特弗裏德•萊布尼茲創立了微積分，由於後來把微積分這個工具改進為嚴格的分析體系，使數學物理強有力的理論成為可能，這一理論最終導致了量子力學、相對論的誕生，讓人們對物質和空間的基本性質有更深的瞭解，從而使數學發展成為研究無限的科學。
進入20世紀以後，數學向更加抽象的方向發展；特別是創造了電子電腦，數學從科學的幕後走向臺前，數位化深入到了人類幾乎所有的活動，人類歷史進入了一個嶄新的資訊時代。可以想像，隨著人類社會的發展，數學會成為最基本的學科，會成為所有科學的框架。如果採用後現代諺語來說，就是幾乎沒有什麼東西能夠避開數學的“文本”。
在數學的發展過程中，對自然數與空間的先驗觀念有過一定的改造，主要是犧牲一點直觀而追求邏輯效力，以適合數學發展的需要。一個成就是通過直角坐標系，把空間也歸結為實數，最後歸結為自然數。另一個成就是把數建立在集合的基礎上，現代數學中還有範疇等更深入的基礎，這主要是出於數學自身發展的需要，相當於在系統軟體上裝了一些應用軟體。
從畢達哥拉斯到德國古典哲學創始人伊曼努爾•康德的眾多思想家都有許多數學哲學的重要思想，但作為專門學科直到19世紀中葉以後才逐漸建立起來，也就是現代數學哲學。它著重研究數學的對象、性質、特點、地位與作用；數學新分支、新課題提出的重要概念的哲學意義；數學流派、數學方法和數學基礎等問題。
由於哲學立場的不同，在數學基礎的現代研究中逐漸形成了邏輯主義、直覺主義和形式主義學派。邏輯主義對這些公理進行改造，讓它更加適合現代數學的發展；直覺主義暗示了公理化的數學對於經驗的可應用性，形式主義則是保證了數學在公理系統內部的真實性。作為其數學哲學思想的體現，這些學派又都提出了數學基礎研究的具體規劃。
因此現代數學哲學的研究內容包括：數學基礎的研究，進而形成以英國哲學家、數學家伯特蘭•羅素為首的邏輯主義和以荷蘭數學家路易岑•布勞維爾為首的直覺主義，以及以德國數學家戴維•希爾伯特為首的形式主義學派。數學悖論的研究，探討悖論的排除及徹底解決的可能性；數學本體論的研究，探討數學的研究對象是否為客觀的真實的存在；數學真理性的研究，就是探討各種數學真理觀的問題。
通過對現代數學哲學的研究，我們可以更好地認識到數學和哲學之間的緊密聯繫，以及它們在人類知識體系中所佔據的基礎地位。數學為哲學提供嚴密的思維方法，哲學問題推動數學發展，兩者在研究領域的共同作用，以及在教育和科學普及中的互動。這種互動作用在教育領域，數學和哲學共同培養了學生的邏輯思維和批判性思考能力，從而推動科學素質的提高。
此外，數學本質是結構(存在數量)和關係(存在變化)的描述，以及驗證(結構和關係)的方法和過程。至於邏輯，更像是結構和關係所固有特點，而抽象是尋找結構和關係過程的手段。所以，數學通過抽象的方法，剝離去除一切無意義的具體，只留下單純的結構和關係，並探索其中的邏輯。數學試圖去發現所有的結構和關係，這是一種描述行為；所以，數學可以說是一種描述事物的物質。
對於數學的本質是什麼，一直以來都是數學家和哲學家爭論不休的話題。如有人認為數學是經驗歸納的產物，是人類思維構造出來的工具；也有人認為數學可能描述了世界上真實的事物，但它並不“存在”於使用它的人的思想之外。而中國數學家、語言學家周海中卻認為：“關於數學的本質問題，任何爭論都是沒有必要的；無論持何種觀點，數學都是科學理性思維的最好工具。”
數學哲學的研究對數學和哲學的發展產生了深遠的影響，它不但促進了數學的進步，也促進了哲學的發展，深刻影響了現代科學的發展；它作為一門充滿活力和前景廣闊的當代交叉學科，將繼續推動數學與哲學的緊密合作，為人類知識體系的發展作出重要貢獻。